- LANZAMIENTO CON ÁNGULO
La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.
Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)
- COMPONENTE VERTICAL
Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.
Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical
- COMPONENTE HORIZONTAL
Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.
Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.
El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.
Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.
Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.
En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en “x” y en “y .
EJEMPLOS
1. Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:
a) La altura máxima.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La distancia a la que llega al suelo.
d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado
Datos
| Ángulo = 37° | a) Ymax = ? | d) Vx =? |
| Vo = 20m/s | b) t total = ? | Vy = ? |
| g= -9.8 m/s^2 | c) X = ? |
Primero...
Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s
Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s
---
Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy = 0
Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.
---
Calcular a) la altura máxima:
Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m
---
Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.
T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.
---
Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta formula:
X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.
---
Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s
Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo el movimiento.
fuente: genesis.uag.mx
2. Supondremos que el proyectil parte del origen con una velocidad V0 que forma un ángulo θo con la horizontal. Las componentes iniciales de la velocidad son V0x = Vo cosθ0 ; Voy = V0 senθ0.
Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones
anteriores, se obtienen las ecuaciones cinemáticas del movimiento de un p
royectil:
ax = 0
ay = - g
Vx = Vo cosθo
Vy = - gt + Vo senθo
x = Vo cosθo t
y = - ½ g t2 + Vo senθo t
Las preguntas que pueden surgir son:
- ¿Cuál es la trayectoria del proyectil?
De las ecuaciones paramétricas X y Y, eliminemos el tiempo:
Tenemos una ecuación de la forma: y = - ax2+bx , que es la ecuación de una parábola.
b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en un momento dado?
Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es: v = V2x + V2y , y el ángulo que forma con la horizontal es:
c) ¿Cuál es su máxima altura?
Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula:
Vy = 0 = - g t + Vo senθ.
De aquí se despeja el tiempo:
t = Vo senθo
g
Y lo llevamos a la ecuación que nos da la ordenada y, que llamamos ahora
La altura máxima Y.
Y = V2o sen2θo
2g
- ¿Cuál es el alcance?
Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo, es decir, para y=0; esto nos da:
0 = - ½ g t 2 + Vo senθo t = ( - ½ g t + Vo senθo ) t:
t = 2Vo senθo_
g
Y lo llevamos a la ecuación de x, que llamamos ahora el alcance de x.
X = Vo cosθo 2Vo senθo_
g
Y como sabemos que 2cosθo senθo = sen2θo, se tiene:
X = V2o_ sen2θo
g
- ¿Para qué valor del ángulo inicial θo el alcance es máximo?
El alcance es máximo cuando sen2θo es máximo, es decir, cuando sen2θo = 1. Por lo tanto, el ángulo 2θo es igual a 90° y θo es igual a 45°.
Si el proyectil es lanzado horizontalmente, con velocidad Vo desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se simplifican y se obtiene:
ax = 0 ay = -g
Vy = V0 Vy = -g t
x = V0 t y = - ½ g t 2
Estas ecuaciones se simplifican aun más si se toma el eje y hacia abajo. En este caso, g es positiva y las ecuaciones se escriben:
ax = 0 ay = g
Vy = Vo Vy = g t
fuente: http: www.monografias.com
3.
1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 mIs, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule
a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.
b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire
c) La distancia horizontal total
d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado
2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.
a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?
b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.
c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?
3.- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un risco de 44 m de altura.
a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?
b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?
c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?
4.- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
b) ¿Cuál su altura máxima?
c) ¿Cuál su alcance horizontal?
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